3.+Método+de+Gauss-Jordan

Método de Gauss
La [|eliminación de Gauss-Jordan], más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la [|matriz aumentada] del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico. Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

Su matriz aumentada será esta:

En primer lugar, reducimos la incógnita, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por  y por, respectivamente.

Por último, eliminamos la, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por y por , respectivamente:

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por:, y  respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

=Rango de una matriz=

Una línea es **linealmente dependiente** de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. Una línea es **linealmente independiente** de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza: **rang(A)** o **r(A**).
 * Rango de una matriz**: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Cálculo por el método de Gauss
Podemos descartar una línea si: F3 = 2F1 F4 es nula F5 = 2F2 + F1 r(A) = 2. F2 = F2 - 3F1 F3= F3 - 2F1 Por tanto r(A) = 3. [|Cálculo del rango de una matriz por determinantes.]
 * Todos sus coeficientes son ceros.
 * Hay dos líneas iguales.
 * Una línea es proporcional a otra.
 * Una línea es combinación lineal de otras.
 * En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.**

Teorema de Rouche- Frobenius