2.+Algebra+de+Matrices

=// matrices //=

=Matriz (matemática)= * 1. Historia
 * ==Contenido==
 * 2. Introducción
 * 3. Definiciones
 * 4. Operaciones básicas
 * 4.1 Suma o adición
 * 3.1.1 Propiedades
 * 4.2 Producto por un escalar
 * 4.2.1 Ejemplo
 * 4.2.2 Propiedades
 * 4.3 Producto
 * 4.3.1 Propiedades
 * 4.4 Aplicaciones lineales
 * 4.5 Transpuesta
 * 5 Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
 * 6 Las matrices en la Computación
 * 7. Véase también ||

1. Historia
El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).[

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

2. INTRODUCCION
En [|matemáticas], una **matriz** es una tabla de [|números] consistente en [|cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse]. Las matrices se utilizan para describir [|sistemas de ecuaciones lineales], realizar un seguimiento de los [|coeficientes] de una [|aplicación lineal] y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la [|teoría de matrices]. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del [|álgebra lineal].

Por favor vea el video, [|definición de matriz] antes de continuar: 

Definiciones y notaciones
Una **matriz** es una tabla rectangular de números (llamados **elementos** o **entradas** de la matriz) ordenados en **filas** y **columnas**, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con //m// filas y //n// columnas se le denomina matriz //m//-por-//n// (escrito //m//×//n//), y a //m// y //n// **dimensiones** de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz //m//-por-//n// tiene un **orden** de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos. Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila //i//-ésima y la columna //j//-ésima se le llama elemento //i,j// o elemento (//i//,//j//)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas. Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz //A// que se encuentra en la fila //i//-ésima y la columna //j//-ésima se le denota como //a//i,j o //a//[//i,j//]. Notaciones alternativas son **A**[//i,j//] o **A**//i,j//. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así **A** es una matriz, mientras que //A// es un [|escalar]. Normalmente se escribe para definir una matriz //A// //m// × //n// con cada entrada en la matriz //A//[//i,j//] llamada //a////ij// para todo 1 ≤ //i// ≤ //m// y 1 ≤ //j// ≤ //n//. Sin embargo, la convención del inicio de los índices //i// y //j// en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ //i// ≤ //m// − 1 y 0 ≤ //j// ≤ //n// − 1. Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo //vector//, y se interpreta como un elemento del [|espacio euclídeo]. Una matriz 1 × //n// (una fila y //n// columnas) se denomina [|vector fila], y una matriz //m// × 1 (una columna y //m// filas) se denomina [|vector columna]. 

Ejemplo
La matriz es una matriz 4x3. El elemento //A//[2,3] o //a//2,3 es 7. La matriz es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.  Por favor vea el video, [|La Utilidad de las matrices].

Suma o adición ([|Si desea vea el video, haciendo clic aqui])
Dadas las matrices //m//-por-//n// //A// y //B//, su **suma** //A + B// es la matriz //m//-por-//n// calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (//A + B//)[//i, j//] = //A//[//i, j//] + //B//[//i, j//] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo: 

Propiedades
Dadas las matrices //m//×//n// //A//, //B// y //C// A + (B + C) = (A + B) + C Dadas las matrices //m//×//n// //A// y //B// A + B = B + A A + 0 = 0 + A = A con -A = [-aij] A + (-A) = 0
 * Asociativa
 * Conmutativa
 * Existencia de matriz cero o matriz nula
 * Existencia de matriz opuesta

Producto por un escalar [|(Si desea vea el video, haciendo clic aqui)]
Dada una matriz //A// y un [|escalar] //c//, su **producto** //cA// se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de //A// (i.e. (//cA//)[//i//, //j//] = //cA//[//i//, //j//] ). 

Propiedades
Sean //A// y //B// matrices y //c// y //d// escalares.  === === === Producto de Matrices[|(Si desea vea el video, haciendo clic aqui)] Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices **A** y **B** dando como resultado la matriz **AB**.=== ===//[|Producto de matrices]// El **producto** de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si //A// es una matriz //m//×//n// y //B// es una matriz //n×p//, entonces su **producto matricial** //AB// es la matriz //m×p// (//m// filas, //p// columnas) dada por: (AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] para cada par //i// y //j//. Por ejemplo: ===
 * **Clausura:** Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
 * **Asociatividad:** (cd)A = c(dA)
 * **Elemento Neutro:** 1·A = A
 * **Distributividad:**
 * **De escalar:** c(A+B) = cA+cB
 * **De matriz:** (c+d)A = cA+dA

Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un [|cuerpo], y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades: El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, **AB ≠ BA**. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente **A / B**, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de [|matriz inversa], sólo aplicable a las [|matrices cuadradas]. 
 * //Propiedad asociativa//: (**AB**)**C** = **A**(**BC**).
 * //Propiedad distributiva por la derecha//: (**A** + **B**)**C** = **AC** + **BC**.
 * //Propiedad distributiva por la izquierda//: **C**(**A** + **B**) = **CA** + **CB**.

Transpuesta [|(Si desea vea el video, haciendo clic aqui)]
===La [|transpuesta] de una matriz //m//-por-//n// **A** es la matriz //n//-por-//m// **A**//T// (algunas veces denotada por **A**t) formada al intercambiar las filas y columnas, i.e. La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades: ===

Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
Una **[|matriz cuadrada]** es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas //n//-por-//n// junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un [|anillo] que generalmente no es [|conmutativo]. M(//n//,**R**), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un [|álgebra asociativa] real unitaria. M(//n//,**C**), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja. La **[|matriz identidad] I**//n// de orden //n// es la matriz //n// por //n// en la cual todos los elementos de la [|diagonal principal] son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. :

La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas. Los elementos invertibles de este anillo se llaman **[|matrices invertibles]** o **matrices no singulares**. Una matriz **A** //n// por //n// es invertible si y sólo si existe una matriz **B** tal que **AB =** **BA**.=In En este caso, **B** es la **[|matriz inversa]** de **A**, identificada por **A**^(-1) (Se lee matriz A elevada a la menos 1).

Otras matrices cuadradas[|(Si desea vea el video, haciendo clic aqui)]
=Matriz ortogonal= Las **matrices ortogonales**, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades también son usadas para el estudio de ciertos [|fibrados] y en [|física] se las usa en la formulación de ciertas [|teorías de campos]. 

Definición :Sea //n// un número entero y sea //A// una [|matriz cuadrada] //n// por //n//, con entradas reales. Se dice que la matriz es ortogonal si:
donde representa la [|matriz traspuesta] de  e  representa la [|matriz identidad]. 

Ejemplos
Supongamos que la matriz de números reales es ortogonal y su determinante es +1. Su transpuesta es igual a su inversa de modo que //d=////a// y //c= -// //b// y la matriz //M// es de la forma Finalmente, Así que los números //a// y //b// satisfacen además la propiedad que la suma de sus cuadrados vale 1. Por lo tanto, existe un número real θ para el cual Concluimos que: toda matriz ortogonal de //S////O//(2) puede escribirse como con θ real.

=Matriz triangular=

=
En [|álgebra lineal], una **matriz triangular** es un tipo especial de [|matriz cuadrada] cuyos elementos por encima o por debajo de su [|diagonal principal] son cero. Debido a que los [|sistemas de ecuaciones lineales] con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en [|análisis numérico] para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de [|descomposición LU] permite descomponer cualquier [|matriz invertible] como [|producto] de una matriz triangular inferior //L// y una superior //U//====== .

Una [|matriz cuadrada] de orden //n// se dice que es **triangular superior** si es de la forma:
Análogamente, una matriz de la forma: se dice que es una **matriz triangular inferior**.

[[image:http://upload.wikimedia.org/math/1/3/0/130df3b27c170a247b112ef87b7eabe9.png]]
es triangular superior y es triangular inferior. 

=Matriz diagonal= En [|álgebra lineal], una **[|matriz] diagonal** es una [|matriz cuadrada] en que las entradas son todas nulas salvo en la [|diagonal principal], y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si: Ejemplo: Toda matriz diagonal es también una [|matriz simétrica], [|triangular] (superior e inferior) y (si las entradas provienen del [|cuerpo] **R** o **C**) [|normal]. Otro ejemplo de matriz diagonal es la [|matriz identidad].
 * Una matriz triangular superior e inferior es una [|matriz diagonal].
 * El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es un matriz triangular superior (inferior).
 * La [|transpuesta] de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.
 * El [|determinante] de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.
 * Una matriz triangular es [|invertible] si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).
 * Los [|valores propios] de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.



Operaciones matriciales :
Las operaciones de suma y [|producto de matrices] son especialmente sencillas para matrices diagonales. Vamos a emplear aquí la notación de diag(//a//1,...,//a////n//) para una matriz diagonal que tiene las entradas //a//1,...,//a////n// en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene: diag(//a//1,...,//a////n//) + diag(//b//1,...,//b////n//) = diag(//a//1+//b//1,...,//a////n//+//b////n//) y para el [|producto de matrices], diag(//a//1,...,//a////n//) · diag(//b//1,...,//b////n//) = diag(//a//1//b//1,...,//a////n////b////n//). La matriz diagonal diag(//a//1,...,//a////n//) es [|invertible] si y sólo si las entradas //a//1,...,//a////n// son todas distintas de 0. En este caso, se tiene diag(//a//1,...,//a////n//)-1 = diag(//a//1-1,...,//a////n//-1). En particular, las matrices diagonales forman un [|subanillo] del anillo de las matrices de //n//×//n//. Multiplicar la matriz //A// por la //izquierda// con diag(//a//1,...,//a////n//) equivale a multiplicar la fila //i//-ésima de //A// por //a////i// para todo //i//. Multiplicar la matriz //A// por la //derecha// con diag(//a//1,...,//a////n//) equivale a multiplicar la columna //i//-ésima de //A// por //a////i// para todo //i//. 

Autovalores, autovectores y determinante

 * Los [|autovalores] de diag(//a//1,...,//a////n//) son //a//1,...,//a////n//.
 * Los vectores **e**1,...,**e**//n// forman una [|base] de autovectores.

=Matriz singular= Algunos autores llaman a estas matrices degeneradas. En tal caso se dice que dicha matriz no tiene [|inversa]. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: Una matriz no singular es llamada comúnmente Invertible =Matriz idempotente= Una **matriz idempotente** es una [|matriz] la cual es igual a su cuadrado y a la vez es simétrica, es decir: A es idempotente si A x A = A, y simétrica. Por ejemplo, la siguiente matriz es idempotente: O sea: la matriz elevada al cuadrado va a ser la misma matriz sin elevarla. Nota: su determinante va a valer 1 o 0 Obtenido de "[]" = =
 * Una [|matriz cuadrada] //A// //nxn// (de orden n) es singular si su [|determinante] es nulo**.
 * A es no invertible.
 * El determinante de A es nulo ( det(A)=0 ), esto es, A es singular.
 * Ax=0 tiene infinitas soluciones.

=
Una [|matriz] se dice nilpotente si existe  tal que //N////k// = 0 .======

Si A es una matriz nilpotente de orden k, A^k=0. Por tanto det(A^k)=0, luego det(A)^k=0, y en consecuencia det(A)=0.
Obtenido de "[]" =Matriz involutiva=

Una **matriz involutiva** es una matriz cuadrada (tiene igual número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:
A es involutiva si A x A = I Por ejemplo, la siguiente matriz es involutiva: Obtenido de "[]"

=Matriz conjugada= Una **Matriz conjugada** es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz //A// por sus conjugadas. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo. 

[[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/4/0/94011ef10b4687f2348eae0ee4f8b552.png caption=" "]]
Obtenido de "[]" =Matriz hermitiana= Una **matriz hermitiana** (o **hermítica**) es una [|matriz cuadrada] de elementos [|complejos] que tiene la característica de ser igual a su propia [|traspuesta] [|conjugada]. Es decir, el elemento en la //i//-ésima fila y //j//-ésima columna es igual al [|conjugado] del elemento en la //j//-ésima fila e //i//-ésima columna, para todos los índices //i// y //j//: o, escrita con la traspuesta conjugada //A//*: Por ejemplo, es una matriz hermítica. 

Propiedades
=Matriz antihermitiana= En algebra lineal, una **Matriz antihermitiana** es una [|matriz cuadrada] cuya [|traspuesta conjugada] es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación: //A// * = -A o en su forma componente, si ( //A// = //a////i//,//j// ): Para todas las //i// y las //j//. 
 * 1) Sea //A// = //B// + //i////C//, donde A es hermitiana y B y C reales, entonces B es simétrica ( //B// = //B////t// ) y C antisimétrica ( //C// = − //C////t// ).
 * 2) La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana.
 * 3) En relación con la propiedad 3, los autovalores de estas matrices son reales.
 * 4) En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
 * 5) La determinante de una matriz hermitiana es un número real.

Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:


=Matriz normal= Sea //A// [|matriz] [|compleja] cuadrada, entonces es una **matriz normal** [|si y sólo si] //A// * //A// = //A////A// * donde //A//* es el [|conjugado] [|transpuesto] de //A// (también llamado hermitiano) 

Ejemplos :
Esta matriz de orden 2 es normal. debido a que .. =Matriz antisimétrica[|(Si desea vea el video, haciendo clic aqui)]= Una **[|matriz]** de nxm elementos: es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una [|matriz cuadrada] (m = n) y //a////j////i// = − //a////i////j// para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, //a////i////i// = 0 para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

EJEMPLO: =

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al inverso. Nótese que la [|matriz traspuesta] de la matriz antisimetrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la [|diagonal principal]. Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre sera 0. Obtenido de "[]"

=Matriz simétrica[|(Si desea vea el video, haciendo clic aqui)]= Una **[|matriz]** de elementos: es simétrica, si es una [|matriz cuadrada] (m = n) y //a////i////j// = //a////j////i// para todo i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la [|diagonal principal] y que A es también, la [|matriz traspuesta] de sí misma; Por ejemplo: //A////t// = //A//. Ejemplo, para n = 3: 

Las matrices en la Computación
Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar [|grafos], y son muy utilizadas en el [|cálculo numérico]. 

Vease también:
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